很喜欢小女孩，有思想，有情谊，善良温情，像是个自带光的小太阳。对话如下
这猫就是你心理的具体画像吧！要窥探什么？答：如果是世界上的末日，我觉的得可能就是单纯的恐惧无奈，（不会那么多不平衡），这三天吃好饭，与家人打打电话，互相感谢一生的陪伴，然后再发个微博朋友圈，感叹一下或感恩一下。然后我要去六顶山，转转，看看自然的风景，它们如此的伟力却也跟着消失.告别的这些上帝创造的完美自然，也去思考是谁制造了这一个恶果，是拜家子还是普大帝，亦或是上帝的惩罚！总得有因果关系的，我想知道！然后后顺便拜一下大佛，让人类在梦乡中走向寂寞吧。 回家看看书电影。[呲牙][呲牙][呲牙][呲牙]也许明天就是个末日呢，你会怎么做！
之前问的问题大多都是心中有了答案，想寻求认可或者是想看看不同视角的回答。这次的问题我却是找不到答案，不是一片空白，是临了临了发现想要的太多。
昨天看到的热搜，一架飞机坠毁。我在想，当生命只剩下两分钟我会干什么，我会想什么。好像什么也干不了，什么也想不到，大概只是对死亡的恐惧掩盖了一切色彩，一片空白。于是在做假设的时候，贪婪的求了三天时间，可想着想着，却总是奢求更多，明知道意外来的时候，总是猝不及防，三天时间都是遥不可及的，但真的去做假设的时候，总是贪婪地想，遗憾再少一点就好了，再少一点，再少一点。
第一天，想去和朋友们好好出去玩。哈哈哈哈上午约着初中的一小帮回趟三中，三中的大操场真的很让人眼馋的好吧，聊聊初中时候干的蠢事，毕竟如果三天后就是末日，那我的一生只有十八岁，也算是有些仪式感回顾一下自己的前半生？我想听听他们展望未来，如果可以，我想这个时候末日只有我自己知道。私心作祟，我还是想看他们意气风发的样子，想看看他们十八岁的样子，不是人之将死的无措茫然，是对未来有无限憧憬的样子，那让我感觉，我正在活着。不过他们大概会觉得奇怪，为什么眼前这个人 聊着聊着，笑着笑着，就哭了。
下午再约上高中的几个小姑娘回趟高中，这次一定要把老师看全啊，哈哈哈哈那六个老师真的是性格迥异又热烈地，真挚地爱着我们。哈哈哈洪艳总是假装嫌弃说我你怎么这题都不会，然后又一遍一遍给我讲，我至今特别感动的是在大娟问我问题是，我小心翼翼地看她，又飞速地垂下头，大娟沉静地望着我，眼里是仿佛包容万物的平和，她说：“孩子，你要敢于直视别人的眼睛。”所以这次，我要看着她的眼睛，坦荡地聊着近况。最后，去看看那个温温柔柔的班主任，再去约在那个奶茶店，聊聊八卦，嘻嘻哈哈地过完这个下午。
晚上啊，想约上两个姐姐，去喝酒酒。哈哈哈哈哈鹏姐废的很，但又总爱逞强，总是在我面前爱端着奇奇怪怪的姐姐的架子，总是装出一副成熟大人的模样，什么也打不倒她，怎么样也不会难过。真是别扭又不坦荡的大人，明明就是一个喝多了脸红红的躲在别人怀里哭的女孩子。这次，想和她们喝倒夜尽天明，哈哈哈哈以前和她们喝总是不好意思卖酒，这次希望她们原谅我耍些小手段啦，毕竟要灌醉美媛姐，可不容易呢。我想让她们真真正正地放松一次。放下成年人的担子，做个普通的快乐的女孩子就好。
晚上十二点，我大概会央着一群人玩一个游戏，死缠烂打，一人发五百块钱，求着她们玩一天，如果你的生命只有一天，那么你今天会干什么的游戏。这样，第二天，她们就能陪陪家人了吧，最后就会少一些遗憾吧。
第二天，就在家做个混子吧嘿嘿。想吃我姥包的饺子，然后笑着看她又被我弟气地跳脚。中午去花店买一束花，然后悄悄去我妈工作的地方给她个惊喜！哈哈哈哈虽然她不是常说，但是只言片语可以看出，她对同事，羡慕的目光很是受用。陪她吃个午饭，听她吐吐苦水，然后等她休息结束，溜溜达达去找我爸。这时候他应该在敦化吧，房子应该装修好了。让他叫上阿姨和那个小妹妹，一起好好吃顿饭，看着徐老先生四十多岁扭扭捏捏谈恋爱真是难得的快乐呢，这次我想把放在心里说的话好好说出来，不是那种开玩笑地打趣，我想认认真真的说：“爸，和阿姨好好的，祝你幸福。”然后和因为害羞没说几句话的妹妹打把游戏，让她知道，虽然没有血缘关系，但是我真的有拿她当妹妹。晚上想看着他们走回家，渐行渐远的时候，我再一个人回家。陪闹人的弟弟玩一玩，不会再生气揍他啦，这次我保证，他踹我我也不生气，他撕我书我也……还是小小生气一下啦嘻嘻。
晚上十二点，游戏结束了，她们估计以为我又犯了什么病一时兴起，然后继续一天无忧无虑的平凡生活吧。这样就好，没有恐慌，没有无措，没有离别的痛苦，没有来不及的遗憾，这样就好，平静地迎接一切。也许以后他们会怪我自私，可惜呀，算我我耍个赖，毕竟我们没有以后了。
第三天呀，我想起个大早，去北山看个日出，看看太阳从地平线升起，看着一切被唤醒，色彩被涂抹，城市变喧嚣，我喜欢看这生机勃勃的样子，即使心中变得更为哀伤，这大概是我最为理解世界美好的时刻了，可惜留不住，可惜留不住。
上午我大概会找各个人流量多得不行的小广场，看着小孩玩闹，走了一个又一个，一个又一个，然后定时定点回家吃饭。哈哈哈哈我姥一定很疑惑，我最近怎么这么准时，也一定很高兴。然后下午又不着家啦，我要站校门口看小屁孩们放学！嬉戏打闹，让人不觉时间流逝，不觉末日的压进，满是青春，满是希望。然后找个椅子，平静地看太阳落入地平线，感谢它数不清日子的辛勤工作，和它轻轻到声再见，只希望微风能送到吧。
最后的最后，想和那些人道别，说出平时总是羞于表达的爱意，和她们说，谢谢你，我爱你。谢谢你们出现在我短暂的人生中，如果还有以后，如果还有轮回，我们下次见。
短短十八年，虽遗憾还有很多事情没有尝试，很多地方没有去，也有很多对死亡的未知与恐惧，但也没做什么恶事，也算将将对得起身边的人了，无愧于心，很好了。
最后祈祷，每个人都能：
晚安，好梦。
这猫就是你心理的具体画像吧！要窥探什么？答：如果是世界上的末日，我觉的得可能就是单纯的恐惧无奈，（不会那么多不平衡），这三天吃好饭，与家人打打电话，互相感谢一生的陪伴，然后再发个微博朋友圈，感叹一下或感恩一下。然后我要去六顶山，转转，看看自然的风景，它们如此的伟力却也跟着消失.告别的这些上帝创造的完美自然，也去思考是谁制造了这一个恶果，是拜家子还是普大帝，亦或是上帝的惩罚！总得有因果关系的，我想知道！然后后顺便拜一下大佛，让人类在梦乡中走向寂寞吧。 回家看看书电影。[呲牙][呲牙][呲牙][呲牙]也许明天就是个末日呢，你会怎么做！
之前问的问题大多都是心中有了答案，想寻求认可或者是想看看不同视角的回答。这次的问题我却是找不到答案，不是一片空白，是临了临了发现想要的太多。
昨天看到的热搜，一架飞机坠毁。我在想，当生命只剩下两分钟我会干什么，我会想什么。好像什么也干不了，什么也想不到，大概只是对死亡的恐惧掩盖了一切色彩，一片空白。于是在做假设的时候，贪婪的求了三天时间，可想着想着，却总是奢求更多，明知道意外来的时候，总是猝不及防，三天时间都是遥不可及的，但真的去做假设的时候，总是贪婪地想，遗憾再少一点就好了，再少一点，再少一点。
第一天，想去和朋友们好好出去玩。哈哈哈哈上午约着初中的一小帮回趟三中，三中的大操场真的很让人眼馋的好吧，聊聊初中时候干的蠢事，毕竟如果三天后就是末日，那我的一生只有十八岁，也算是有些仪式感回顾一下自己的前半生？我想听听他们展望未来，如果可以，我想这个时候末日只有我自己知道。私心作祟，我还是想看他们意气风发的样子，想看看他们十八岁的样子，不是人之将死的无措茫然，是对未来有无限憧憬的样子，那让我感觉，我正在活着。不过他们大概会觉得奇怪，为什么眼前这个人 聊着聊着，笑着笑着，就哭了。
下午再约上高中的几个小姑娘回趟高中，这次一定要把老师看全啊，哈哈哈哈那六个老师真的是性格迥异又热烈地，真挚地爱着我们。哈哈哈洪艳总是假装嫌弃说我你怎么这题都不会，然后又一遍一遍给我讲，我至今特别感动的是在大娟问我问题是，我小心翼翼地看她，又飞速地垂下头，大娟沉静地望着我，眼里是仿佛包容万物的平和，她说：“孩子，你要敢于直视别人的眼睛。”所以这次，我要看着她的眼睛，坦荡地聊着近况。最后，去看看那个温温柔柔的班主任，再去约在那个奶茶店，聊聊八卦，嘻嘻哈哈地过完这个下午。
晚上啊，想约上两个姐姐，去喝酒酒。哈哈哈哈哈鹏姐废的很，但又总爱逞强，总是在我面前爱端着奇奇怪怪的姐姐的架子，总是装出一副成熟大人的模样，什么也打不倒她，怎么样也不会难过。真是别扭又不坦荡的大人，明明就是一个喝多了脸红红的躲在别人怀里哭的女孩子。这次，想和她们喝倒夜尽天明，哈哈哈哈以前和她们喝总是不好意思卖酒，这次希望她们原谅我耍些小手段啦，毕竟要灌醉美媛姐，可不容易呢。我想让她们真真正正地放松一次。放下成年人的担子，做个普通的快乐的女孩子就好。
晚上十二点，我大概会央着一群人玩一个游戏，死缠烂打，一人发五百块钱，求着她们玩一天，如果你的生命只有一天，那么你今天会干什么的游戏。这样，第二天，她们就能陪陪家人了吧，最后就会少一些遗憾吧。
第二天，就在家做个混子吧嘿嘿。想吃我姥包的饺子，然后笑着看她又被我弟气地跳脚。中午去花店买一束花，然后悄悄去我妈工作的地方给她个惊喜！哈哈哈哈虽然她不是常说，但是只言片语可以看出，她对同事，羡慕的目光很是受用。陪她吃个午饭，听她吐吐苦水，然后等她休息结束，溜溜达达去找我爸。这时候他应该在敦化吧，房子应该装修好了。让他叫上阿姨和那个小妹妹，一起好好吃顿饭，看着徐老先生四十多岁扭扭捏捏谈恋爱真是难得的快乐呢，这次我想把放在心里说的话好好说出来，不是那种开玩笑地打趣，我想认认真真的说：“爸，和阿姨好好的，祝你幸福。”然后和因为害羞没说几句话的妹妹打把游戏，让她知道，虽然没有血缘关系，但是我真的有拿她当妹妹。晚上想看着他们走回家，渐行渐远的时候，我再一个人回家。陪闹人的弟弟玩一玩，不会再生气揍他啦，这次我保证，他踹我我也不生气，他撕我书我也……还是小小生气一下啦嘻嘻。
晚上十二点，游戏结束了，她们估计以为我又犯了什么病一时兴起，然后继续一天无忧无虑的平凡生活吧。这样就好，没有恐慌，没有无措，没有离别的痛苦，没有来不及的遗憾，这样就好，平静地迎接一切。也许以后他们会怪我自私，可惜呀，算我我耍个赖，毕竟我们没有以后了。
第三天呀，我想起个大早，去北山看个日出，看看太阳从地平线升起，看着一切被唤醒，色彩被涂抹，城市变喧嚣，我喜欢看这生机勃勃的样子，即使心中变得更为哀伤，这大概是我最为理解世界美好的时刻了，可惜留不住，可惜留不住。
上午我大概会找各个人流量多得不行的小广场，看着小孩玩闹，走了一个又一个，一个又一个，然后定时定点回家吃饭。哈哈哈哈我姥一定很疑惑，我最近怎么这么准时，也一定很高兴。然后下午又不着家啦，我要站校门口看小屁孩们放学！嬉戏打闹，让人不觉时间流逝，不觉末日的压进，满是青春，满是希望。然后找个椅子，平静地看太阳落入地平线，感谢它数不清日子的辛勤工作，和它轻轻到声再见，只希望微风能送到吧。
最后的最后，想和那些人道别，说出平时总是羞于表达的爱意，和她们说，谢谢你，我爱你。谢谢你们出现在我短暂的人生中，如果还有以后，如果还有轮回，我们下次见。
短短十八年，虽遗憾还有很多事情没有尝试，很多地方没有去，也有很多对死亡的未知与恐惧，但也没做什么恶事，也算将将对得起身边的人了，无愧于心，很好了。
最后祈祷，每个人都能：
晚安，好梦。
#数学趣题#
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
青春故事：那年我拒绝的情书
故事微刊 2022-01-03 07:30
作者：（台湾）莫 非
他追逐的也许不是爱情，而是爱。 他追逐的也许不是我，而是一个曾向他表示友善的影子。
每一次想到他，我便会感到一阵颤栗，为他那锲而不舍的劲儿，是那样一种可怕的坚持，坚持不把我给忘记。
原本，我们是两个世界的人。那个小区里，我家住1号楼，他家住10号楼。小学班上我坐前面，他坐最后一排。功课我常考第一，是班长、模范生;而他，永远是最后一名，老师从不提他、不正眼瞧他，不把他当回事。只除了一次，老师当堂点名:“宋××，你怎么退步了?不是每次都是倒数第一，这回却考了个倒数第二?”语带讥讽，在全班的哄笑中，将考卷摔在他的桌子上。当时他也跟着同学们在班上傻笑，好像分辨不出老师说的是反话。
他长了个大头，有人说他笨，大概是因为他在家里跟妹妹睡上下铺，老由上铺摔到地上，所以给摔傻了。此话从没有人求证过，但他的头真的大，他也是大家公认的笨。所以我对于他，好学生对于笨学生，女生对于男生，在那个年纪是绝对井水不犯河水的。但有一天，母亲却向我问到他的成绩，然后对我说:“他爸生前和你爸是好朋友，所以你要在功课上帮他一把！”母亲又说自他父亲过世，他母亲便离家去了台北，从事秘书之类的工作。他和妹妹被小阿姨收留，而小阿姨又因在歌厅唱歌，认识了一个客人，后来就同居在一起，他们称他为“叔叔”。是那样一个畸零的家庭，不容易啊!所以我应该帮他，那一天，便找他一起做功课，约在他家。
那天下午他家只有他。他带我参观了一下他家，然后带我到做功课的饭桌上，是个沾着油污的桌子，上面放着一盘冷馒头，一碟辣萝卜干。当时午后斜阳洒满一桌，成了房内最亮的地方，桌上像铺了块金色柔软的绸缎，什么东西都浸着温润色泽。
他教我用馒头夹辣萝卜干吃。因为没吃过，也因为新奇，我吃了两口，觉得特别香，和他相视一笑。那天下午，我们友善地一起做着功课。偶尔，室内回响着“嘎巴!嘎巴!”萝卜干的脆嚼声，在那午后阳光的一个角落，天地一片宁静。
但接连几天在学校，同学开始注意到他的变化了。“你看，宋××又在算人数了！”有人拍我肩要我注意。是在早晨的课间活动，学校安排我们跳土风舞，要流动换舞伴。排在另一头的他在等音乐时，会一个个数，看怎样换舞伴，可以换到和我在一起。我回头，果然望见他一脸认真地伸着手指，在一一点算。他个儿高、头又大，队列中很容易看见，但他对别人的注意浑然不知。当即我便羞愤了，真没想到数学那么差的他，会有这种脑筋?
死心塌地的追逐
我开始对他疏远，视如路人。不仅再没有邀他一起做功课，而且看他远远走来，我就闪在一边。我不喜欢同学把我和他联想到一块儿。但也有失算的时候。一天清晨上学路上，我骑着脚踏车一溜而过，转个弯后，赫然望见不远处，他正背着书包的背影。我只好硬着头皮往前骑，擦肩而过时，他抬了下头，发现是我，眼光闪了闪;我咬咬牙，假装视若无睹地继续往前骑。
一会儿，却意外地听到背后传来快速沉重的跑步声。回头一望，暗叫不好，这个傻大个一手紧抱书包，一边喘着气，紧追着我的车跑。我吓得愈骑愈快，他也愈跑愈快，头上甩着汗珠子，嘴巴大声吐着气，却不肯开口招呼我，或喊一声停。这使我也没什么理由阻止，我假装没看见，紧抿着嘴，兀自低头赶路，像个不相干的路人。地上是一高一低、快速移动的身影，偶尔一个远远地抛下另一个，偶尔两个又紧紧相随。
日后每次路上碰见，他一定撒开两脚，卖力地追赶着我的车。我从未问他为何要跟着我跑，他也从不招呼我停车等他一下！
寻常情书
暑期放假，我松了口气。不上学便见不到，我便很安全。
一晚，我忽然被墙外轻轻的叫声给唤醒了，那是压抑又紧张的声音，又要我听到，又不能叫别人知道。一下在墙这头，一下又冒到墙那头:“莫非!莫非!你出来一下!”小偷似的。
我听了，顿时噤声。有点兴奋，又有点不知所措。他叫我出去做什么?脑中一片空白。经验是新鲜的，但那个大头又叫我没太多想法，只好假装不在，可是又心虚，因为我知道他是知道我在的。他又叫了一阵，便也没声了。隔两天，又来叫，隔两天，再来。是那样不死心，探索、试探，叫魂似的叫。我烦透了。
“莫非!你出来一下！”他又在墙外叫魂了，终于给哥哥听见，他不耐烦地走出去，很凶地喊:“叫什么叫?是哪家的狗在叫?不要在这儿吵!”很成功地遏止了那头的叫魂声。进屋时，老哥对我得意地挑挑眼:“怎么样?你老哥厉害吧!”
但安静只持续了几天，信箱里却开始出现我的“情书”了。因为是住同一个小区，一定是他本人专送，每每门外信箱“咚!”一声响，然后便是一阵跑远的脚步声。
说“情书”，其实是神近而非形似，全信不带任何与“情”有关的字眼，而且言语平常，简单几句话，算是小学生式的问候。信纸也是一张肮脏的作业纸，上面铅笔字迹歪七扭八，几句话写得挣扎痛苦非常，涂改痕迹历历在目，看得出他把一生的学问全用上了。是这样一封让人啼笑皆非的信，拿在手上，却惊心动魄，一颗想要表达什么的心，好像烫手指。
我从没回过信。年龄上，我还是讨厌“臭男生”的年龄，情感上也还没开放，对这一连串浓烈的表示，只觉得莫名其妙的“倒霉”。他大约也看出我的烦恼，在学校不再数舞伴了，但上学路上仍是追着跑，信箱也仍时不时躺着封信。
温柔大手
隔年初夏，一场滂沱大雨，到处淹水，我必须步行上学。走到校门口时，因为是上坡，黄浊的大水迎面滚滚流下，竟泛滥成校门宽的一条大河。老师在门口指挥，一些学生脱了鞋涉水前进。我也涉入水中，浸在冰凉水中的脚，像被许多鱼由趾间溜过。
我低头，在湍流水中摇摇晃晃地走，有点头晕，也有点害怕。走了一半，看着快速流过的水，忽然有点发昏，这时，一双手由后面伸来，是他。我因惧怕，一时摒除所有的矜持死命抓住，乖顺地由他牵我走到校门口。
现在回想，那绝不是一只偶然冒出的手，而是一只在身后多时，伺机待发的手;那也不是一双小学生的手，而是一只有力又稳定的手，一只多年身为保护者，走过无数生活困境的手。是那样一只手，把我由大水中牵出。到了高处，他松了手，看也不看我便离开了，大约是感到我的不自在。望着他的背影，我着实发了阵呆。
初中，我考到了私立学校。他与小阿姨一家搬走了，听说他被送进工厂去当学徒。高中，我又考到北部女中，一次回台中老家，看到他几封过期来信，地址是中坜，字迹仍是熟悉的，其中一封里他形容我是:飞上枝头做凤凰。有几个字是拼音注出来的。
他只是向爱投奔
女孩心的诡异之处，就在当自己对对方没感觉时，对方的一切追逐，都会被弃之如仇、逃之不及，对方再怎么掏心掏肺，也只是“我本有心向明月，奈何明月照清渠”。
但在二十几年后，我渐渐有了不同的视野，我发现生命中的这一段，也许原本不是一般初恋式的追逐与被追逐。他追逐的也许不是爱情，而是爱。他追逐的也许不是我，而是一个曾向他表示友善的影子。他一生寻找的，是那属于人与人之间的关怀。
因为是那样一个成长在寂寞中的孩子，世界对于他来说是破碎、不安、残酷的，在他童年的记忆里，是被泪与屈辱淹没的大海;因为内心的渴望，他把我当成山一样的指标，一次次如浪涌向岸边，毫不气馁地向爱投奔。
而我给了他什么呢?一个阳光的下午?一个微笑?一个牵手?他不知道，当我骑着车飞快往前跑而他紧追不放时，他已把那一角阳光给逼退，给远远地抛在后方了。而我不知道的是，自己一个微小的友善表示，就是他生命中仅有的仁慈，就是他全部的阳光。
他追逐的，是阳光的影子，阳光的记忆。
故事微刊 2022-01-03 07:30
作者：（台湾）莫 非
他追逐的也许不是爱情，而是爱。 他追逐的也许不是我，而是一个曾向他表示友善的影子。
每一次想到他，我便会感到一阵颤栗，为他那锲而不舍的劲儿，是那样一种可怕的坚持，坚持不把我给忘记。
原本，我们是两个世界的人。那个小区里，我家住1号楼，他家住10号楼。小学班上我坐前面，他坐最后一排。功课我常考第一，是班长、模范生;而他，永远是最后一名，老师从不提他、不正眼瞧他，不把他当回事。只除了一次，老师当堂点名:“宋××，你怎么退步了?不是每次都是倒数第一，这回却考了个倒数第二?”语带讥讽，在全班的哄笑中，将考卷摔在他的桌子上。当时他也跟着同学们在班上傻笑，好像分辨不出老师说的是反话。
他长了个大头，有人说他笨，大概是因为他在家里跟妹妹睡上下铺，老由上铺摔到地上，所以给摔傻了。此话从没有人求证过，但他的头真的大，他也是大家公认的笨。所以我对于他，好学生对于笨学生，女生对于男生，在那个年纪是绝对井水不犯河水的。但有一天，母亲却向我问到他的成绩，然后对我说:“他爸生前和你爸是好朋友，所以你要在功课上帮他一把！”母亲又说自他父亲过世，他母亲便离家去了台北，从事秘书之类的工作。他和妹妹被小阿姨收留，而小阿姨又因在歌厅唱歌，认识了一个客人，后来就同居在一起，他们称他为“叔叔”。是那样一个畸零的家庭，不容易啊!所以我应该帮他，那一天，便找他一起做功课，约在他家。
那天下午他家只有他。他带我参观了一下他家，然后带我到做功课的饭桌上，是个沾着油污的桌子，上面放着一盘冷馒头，一碟辣萝卜干。当时午后斜阳洒满一桌，成了房内最亮的地方，桌上像铺了块金色柔软的绸缎，什么东西都浸着温润色泽。
他教我用馒头夹辣萝卜干吃。因为没吃过，也因为新奇，我吃了两口，觉得特别香，和他相视一笑。那天下午，我们友善地一起做着功课。偶尔，室内回响着“嘎巴!嘎巴!”萝卜干的脆嚼声，在那午后阳光的一个角落，天地一片宁静。
但接连几天在学校，同学开始注意到他的变化了。“你看，宋××又在算人数了！”有人拍我肩要我注意。是在早晨的课间活动，学校安排我们跳土风舞，要流动换舞伴。排在另一头的他在等音乐时，会一个个数，看怎样换舞伴，可以换到和我在一起。我回头，果然望见他一脸认真地伸着手指，在一一点算。他个儿高、头又大，队列中很容易看见，但他对别人的注意浑然不知。当即我便羞愤了，真没想到数学那么差的他，会有这种脑筋?
死心塌地的追逐
我开始对他疏远，视如路人。不仅再没有邀他一起做功课，而且看他远远走来，我就闪在一边。我不喜欢同学把我和他联想到一块儿。但也有失算的时候。一天清晨上学路上，我骑着脚踏车一溜而过，转个弯后，赫然望见不远处，他正背着书包的背影。我只好硬着头皮往前骑，擦肩而过时，他抬了下头，发现是我，眼光闪了闪;我咬咬牙，假装视若无睹地继续往前骑。
一会儿，却意外地听到背后传来快速沉重的跑步声。回头一望，暗叫不好，这个傻大个一手紧抱书包，一边喘着气，紧追着我的车跑。我吓得愈骑愈快，他也愈跑愈快，头上甩着汗珠子，嘴巴大声吐着气，却不肯开口招呼我，或喊一声停。这使我也没什么理由阻止，我假装没看见，紧抿着嘴，兀自低头赶路，像个不相干的路人。地上是一高一低、快速移动的身影，偶尔一个远远地抛下另一个，偶尔两个又紧紧相随。
日后每次路上碰见，他一定撒开两脚，卖力地追赶着我的车。我从未问他为何要跟着我跑，他也从不招呼我停车等他一下！
寻常情书
暑期放假，我松了口气。不上学便见不到，我便很安全。
一晚，我忽然被墙外轻轻的叫声给唤醒了，那是压抑又紧张的声音，又要我听到，又不能叫别人知道。一下在墙这头，一下又冒到墙那头:“莫非!莫非!你出来一下!”小偷似的。
我听了，顿时噤声。有点兴奋，又有点不知所措。他叫我出去做什么?脑中一片空白。经验是新鲜的，但那个大头又叫我没太多想法，只好假装不在，可是又心虚，因为我知道他是知道我在的。他又叫了一阵，便也没声了。隔两天，又来叫，隔两天，再来。是那样不死心，探索、试探，叫魂似的叫。我烦透了。
“莫非!你出来一下！”他又在墙外叫魂了，终于给哥哥听见，他不耐烦地走出去，很凶地喊:“叫什么叫?是哪家的狗在叫?不要在这儿吵!”很成功地遏止了那头的叫魂声。进屋时，老哥对我得意地挑挑眼:“怎么样?你老哥厉害吧!”
但安静只持续了几天，信箱里却开始出现我的“情书”了。因为是住同一个小区，一定是他本人专送，每每门外信箱“咚!”一声响，然后便是一阵跑远的脚步声。
说“情书”，其实是神近而非形似，全信不带任何与“情”有关的字眼，而且言语平常，简单几句话，算是小学生式的问候。信纸也是一张肮脏的作业纸，上面铅笔字迹歪七扭八，几句话写得挣扎痛苦非常，涂改痕迹历历在目，看得出他把一生的学问全用上了。是这样一封让人啼笑皆非的信，拿在手上，却惊心动魄，一颗想要表达什么的心，好像烫手指。
我从没回过信。年龄上，我还是讨厌“臭男生”的年龄，情感上也还没开放，对这一连串浓烈的表示，只觉得莫名其妙的“倒霉”。他大约也看出我的烦恼，在学校不再数舞伴了，但上学路上仍是追着跑，信箱也仍时不时躺着封信。
温柔大手
隔年初夏，一场滂沱大雨，到处淹水，我必须步行上学。走到校门口时，因为是上坡，黄浊的大水迎面滚滚流下，竟泛滥成校门宽的一条大河。老师在门口指挥，一些学生脱了鞋涉水前进。我也涉入水中，浸在冰凉水中的脚，像被许多鱼由趾间溜过。
我低头，在湍流水中摇摇晃晃地走，有点头晕，也有点害怕。走了一半，看着快速流过的水，忽然有点发昏，这时，一双手由后面伸来，是他。我因惧怕，一时摒除所有的矜持死命抓住，乖顺地由他牵我走到校门口。
现在回想，那绝不是一只偶然冒出的手，而是一只在身后多时，伺机待发的手;那也不是一双小学生的手，而是一只有力又稳定的手，一只多年身为保护者，走过无数生活困境的手。是那样一只手，把我由大水中牵出。到了高处，他松了手，看也不看我便离开了，大约是感到我的不自在。望着他的背影，我着实发了阵呆。
初中，我考到了私立学校。他与小阿姨一家搬走了，听说他被送进工厂去当学徒。高中，我又考到北部女中，一次回台中老家，看到他几封过期来信，地址是中坜，字迹仍是熟悉的，其中一封里他形容我是:飞上枝头做凤凰。有几个字是拼音注出来的。
他只是向爱投奔
女孩心的诡异之处，就在当自己对对方没感觉时，对方的一切追逐，都会被弃之如仇、逃之不及，对方再怎么掏心掏肺，也只是“我本有心向明月，奈何明月照清渠”。
但在二十几年后，我渐渐有了不同的视野，我发现生命中的这一段，也许原本不是一般初恋式的追逐与被追逐。他追逐的也许不是爱情，而是爱。他追逐的也许不是我，而是一个曾向他表示友善的影子。他一生寻找的，是那属于人与人之间的关怀。
因为是那样一个成长在寂寞中的孩子，世界对于他来说是破碎、不安、残酷的，在他童年的记忆里，是被泪与屈辱淹没的大海;因为内心的渴望，他把我当成山一样的指标，一次次如浪涌向岸边，毫不气馁地向爱投奔。
而我给了他什么呢?一个阳光的下午?一个微笑?一个牵手?他不知道，当我骑着车飞快往前跑而他紧追不放时，他已把那一角阳光给逼退，给远远地抛在后方了。而我不知道的是，自己一个微小的友善表示，就是他生命中仅有的仁慈，就是他全部的阳光。
他追逐的，是阳光的影子，阳光的记忆。
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